Download PDF by Otto Forster: Algorithmische Zahlentheorie

By Otto Forster

ISBN-10: 3658065397

ISBN-13: 9783658065393

Das Buch gibt eine Einführung in die Zahlentheorie bis hin zu den quadratischen Zahlkörpern. Dabei wird durchgehend auch der algorithmische Aspekt betrachtet. So werden Existenzsätze (z.B. für die Darstellung von Primzahlen der shape p=4n+1 als Summe von zwei Quadratzahlen) stets durch Algorithmen zur Konstruktion ergänzt. Neben den klassischen Inhalten der elementaren Zahlentheorie werden in dem Buch u.a. auch die Multiplikation großer ganzer Zahlen mittels der schnellen Fourier-Transformation sowie Faktorisierung ganzer Zahlen mit elliptischen Kurven behandelt.

Für die Neuauflage wurden bekannt gewordene Fehler der ersten Auflage korrigiert und an mehreren Stellen Umarbeitungen vorgenommen. Außerdem gibt es neue Abschnitte über die Faktorisierung mit dem Quadratischen Sieb, den Diskreten Logarithmus (der in der Kryptographie eine große Rolle spielt) sowie über den deterministischen AKS-Primzahltest mit polynomialer Laufzeit. Damit der Leser die Algorithmen auf seinem computing device oder computing device auch konkret testen kann, werden die Algorithmen in einem pascalähnlichen Code für den vom Autor entwickelten Multipräzisions-Interpreter ARIBAS beschrieben, der zum kostenlosen obtain zur Verfügung steht.

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4. Satz (Fermat). Sei p eine Primzahl. Dann gilt f¨ ur jede nicht durch p teilbare ganze Zahl a ap−1 ≡ 1 mod p. Beweis. Wir k¨ onnen a, genauer a mod p, als Element der multiplikativen Gruppe (Z/pZ)∗ = F∗p auffassen, die aus p − 1 Elementen besteht. 3. Bemerkung. 4 wird manchmal als der kleine Satz von Fermat bezeichnet. Als den großen Satz von Fermat bezeichnet man die Behauptung von Fermat, dass die Gleichung xn + y n = z n f¨ ur n 3 keine ganzzahligen L¨osungen mit xyz = 0 besitzt. Dies war 300 Jahre lang nur eine Vermutung, bevor diese Behauptung 1995 von Andrew Wiles [wiles] bewiesen werden konnte.

Da R Hauptidealring ist, gibt es ein d ∈ R mit (a, x) = (d). Nat¨ urlich ist d = 0. Falls d ∈ R∗ , folgt aus der Irreduzibilit¨at von a, dass d und a assoziiert sind, also d | x ⇒ a | x, entgegen der Voraussetzung. Also ist d ∈ R∗ , es gibt also μ, ν ∈ R mit μa + νx = 1. Daher ist y = μay + νxy = μay + νaq. d. Insbesondere fallen also im Ring Z der ganzen Zahlen die Begriffe irreduzibel und prim zusammen. Wir werden unter Primzahlen in Z immer die positiven Primelemente von Z verstehen. S¨amtliche Primelemente von Z haben die Gestalt ±p, wobei p die Menge der Primzahlen {2, 3, 5, 7, 11, .

Definition. Ein Polynom n ai X i ∈ Z[X] F (X) = i=0 heißt primitiv, wenn der gr¨oßte gemeinsame Teiler seiner Koeffizienten ai gleich 1 ist. § 5 Primfaktor-Zerlegung 40 Ist ein Polynom aus Z[X] nicht primitiv, so kann man den gr¨oßten gemeinsamen Teiler der Koeffizienten ausklammern. Es ergibt sich also, dass jedes Polynom aus Q[X] zu einem primitiven Polynom aus Z[X] assoziiert ist. Dieses primitive Polynom ist bis aufs Vorzeichen eindeutig bestimmt. 8. Lemma. Das Produkt zweier primitiver Polynome F, G ∈ Z[X] ist wieder primitiv.

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Algorithmische Zahlentheorie by Otto Forster


by Kevin
4.3

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