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By Fernando Q. Gouvea, Noriko Yui

ISBN-10: 0198536682

ISBN-13: 9780198536680

The complaints of the 3rd convention of the Canadian quantity concept organization August 18-24, 1991

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Wenn man genau analysiert, welche strukturellen Eigenschaften f¨ ur einen Beweis durch Induktion ben¨ otigt werden, gelangt man zum Begriff der fundierten Relation, der im 3. 4). Jedenfalls aber ist unser Beweis“ deshalb unbefriedigend, ” da die ihm zugrundeliegenden strukturellen Eigenschaften von N nicht vorher explizit gemacht wurden. Mit anderen Worten: Wir sollten zun¨ achst die Theorie von N axiomatisieren, um sodann im Rahmen eines solchen Axiomensystems g¨ ultige Aussagen u ¨ber N zu beweisen!

Wir schreiben von nun an +n (gleich −(−n), oder einfach n) f¨ ur die ganze Zahl [n, 0] und −n f¨ ur die ganze Zahl [0, n]. ¨ Wir konstruieren nun Q als Menge von Aquivalenzklassen von Paaren gewisser ganzer Zahlen wie folgt. Seien (n, m) und (r, s) geordnete Paare ganzer Zahlen, wobei m = 0 = s. Wir identifizieren (n, m) mit (r, s) gdw. der Quotient aus n und m gleich dem Quotienten aus r und s ist, d. h. wir definieren eine zweistellige Relation S durch (n, m)S(r, s) ⇐⇒ n · s = r · m . 1 Die Konstruktion der ganzen und rationalen Zahlen 41 ¨ Offensichtlich ist S eine Aquivalenzrelation auf der Menge aller Paare ganzer Zahlen, deren zweite Komponente nicht 0 ist.

2 50 2. Reelle Zahlen m 2 2 Wir zeigen jetzt ( rs )2 = ( m n ) = 2. Angenommen, ( n ) = 2 2 ur 2, d. h. m = 2n . Dann ist m gerade, da andernfalls f¨ usste, dass 2n2 = m2 = m = 2m + 1 mit m ∈ Z gelten m¨ 2 4(m + m ) + 1 was ein Widerspruch ist, da die linke Seite dieser Gleichung gerade und die rechte ungerade ist. Wenn aber m gerade ist, etwa m = 2m , dann folgt aus 2 2 m2 = 2n2 , dass 2n2 = m2 = 4m , also n2 = 2m . Eine Wiederholung des obigen Arguments liefert dann, dass auch n gerade sein muss.

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by Kevin
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